作业1 #
线性空间 #
数域：对加减乘除封闭
常微分方程的通解：特征方程，指数函数
线性空间：对加法&数乘封闭+8条
基：线性无关+表出整个空间
柯西不等式：根据内积半正定得到不等式，然后再根据结论构造；
施密特正交化：范数由区间上的内积定义，而不是本身的模长；奇函数/偶函数在对称区间上积分的性质；减去在标准正交基上的分量+单位化；
作业2 #
格拉姆矩阵：向量的内积；对角线上是范数的平方；注意非标准正交基的内积不为1；
傅里叶变换 #
傅立叶变换：向量和不同正交基在酉空间上的内积结果；变换后的内积与原始内积的比值等于基向量的内积；
帕萨瓦尔定理：时空域和频域的概率密度函数的范数相等；
时域/频域概率密度函数的期望和方差：一阶矩和二阶矩，三角函数相关的微积分（三角恒等式，三角换元，点火公式考虑平方时的特殊情况pi/4）
二维傅立叶变换：频域每一个点的基向量沿着二维空间的两个方向变化；而CT重建时是投影后再作一维傅立叶变换，本质上只有沿着一个方向变换的基向量，所以在频域只是过中心的直线（因为基向量只沿着一个方向变化，而不是两个）；
作业3 #
子空间：对加法和数乘封闭+属于原线性空间；
对角阵：对每一个基向量分别乘以一个系数（左乘变行/右乘变列，本质是分块矩阵乘法）
若矩阵左乘对角阵和右乘对角阵相等，则该矩阵也是对角阵
解空间的维度=n-系数矩阵的秩
直和：和+线性无关；两个空间相等的充要条件是相互包含；
相抵标准型：先行变换，再列变换；PAQ，行变换倒序，列变换正序；初等变换矩阵本质上还是对行和列的线性组合，可以视情况合并（例如所有列依次调换）；
广义加号逆 #
已经掌握了流畅的推导！
根据投影的正则方程$C^TAx=C^Tb$可得b在A的列空间的投影$\hat{b}=C(C^TC)C^Tb$
同时最优最小二乘解$x^*$属于A的行空间，所以可以表达为$\bar{x}=A^Ty=R^T\bar{y}$
进一步代入$CRR^Ty=C(C^TC)C^Tb$，解得$\bar{x}=R^T(RR^T)^{-1}(C^TC)^{-1}C^T$
（关键在于凑可逆阵，行满秩乘以列满秩必可逆，即$C^TC和RR^T$可逆）
CR分解：寻找PAQ满足标准形，然后将标准形拆成两个矩阵的乘积；本质是秩1矩阵的和；
子空间的和：基向量的和；
反证法：若a属于A空间+b不属于A空间,则a+b必不属于A空间（否则可以倒推出b属于A空间）
作业4 #
二范数/四范数：最小值考虑one-hot（最小值为1）；最大值考虑柯西不等式（全1向量）；
线性映射 #
线性变换：考虑基变换时，不同的基对应不同的矩阵；不同基下的线性变换矩阵公式$$B=P^{-1}AP$$其中P是A的基到B的基的过渡矩阵；到平凡基的过渡矩阵即现有基的逆矩阵；线性变换和矩阵同构，可以加法、数乘、乘法；
不同特征值的特征向量线性无关：1.两个特征值，反证法，若线性相关，则属于相同的特征值；2.多个特征值，数学归纳法，若前i+1个特征值的特征向量线性相关则推出前i个特征值的特征向量线性相关；
秩1矩阵的相似对角化：考虑非零特征值和零特征值的特征子空间，非零特征值取决于是否正交，零特征值的特征子空间维数是n-1
核空间与象空间：核空间外的基经过线性变换后构成象空间（假设线性相关，则有核空间外的基的线性组合经过线性变换后落入核空间，反证出线性无关+象空间的每个向量可以由这组基表达，即该组基能张成整个象空间），注意线性变换对基和向量的不同作用
考虑线性变换对空间中向量的作用$\beta=\phi\alpha$，若满足$\alpha = (\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,…)x$，则对基的作用表现为$\phi(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,…)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,…)A$，注意$\phi$可以和后面的任意项结合，$（\phi(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,…)x=\phi((\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,…)x)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,…)xA$，对坐标的作用表现为$y=Ax$
幂等变换：根据特征多项式得到特征值0和1；根据特征值的矩阵方程得到特征空间的维度>=n，（A是（A-I）X=0的解）进而=n。
虚特征值的特征向量必为虚特征向量，设未知数，由特征方程推导即可；
作业5 #
正交矩阵：一般是根据定义的矩阵方程，作转置/同乘转置/共轭/两式相乘等操作，注意向量内积的结果是标量；所有复特征值的模为1，模的平方=本身乘以共轭；行列式=实特征值的乘积；互异特征值的特征向量在酉空间正交；同一复特征值的特征向量在实空间的内积为0；
奇异值分解 #
本质是$A^T$是半正定实对称矩阵，可以正交相似对角化；注意V是正交矩阵；并对AV作单位化处理；对于相似对角化，特征值即奇异值；
诱导范数：线性变换对向量的最大伸缩比例；
条件数：最大奇异值和最小奇异值的比值；反映了Ax=b的解空间对b的扰动的稳定性；
Key #
1.判断线性空间
2.判断卷积/微分是否线性移不变系统，判断高通低通
3.不同基下的线性变换矩阵
4.反对称矩阵的复特征值和复特征向量的讨论（内积满足的关系）
5.幂等矩阵的解空间与列空间，证明解空间和列空间的和构成整个空间，证明是直和，分别讨论特征向量的维数
6.I-ae1e1T的特征值、特征子空间，奇异值分解，最优秩1分解（F范数结论）